集合
定义：所有指定对象的全体称为集合，集合中的每一项称为元素，记作：$ 元素 ∈ 集合 $。
常见的数集表示：
| 数集 | 符号 |
|---|---|
| 实数 | $ R $ |
| 有理数 | $ Q $ |
| 自然数 | $ N $ |
| 整数 | $ Z $ |
| 正整数 | $ N^* $ |
集合的表示方法：
- 列举法：$ A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} $
- 描述法：$ A = \{ x | p(x) \} $ 表示所有满足命题
p(x)的所有实数x的集合
集合的关系：
- $ A \subseteq B $：A 包含于 B，A 是 B 的子集
- $ A \subseteq B \text{ & } B \subseteq A $：A 等于 B
- $ A \subset B $：A 包含于 B，A 是 B 的真子集
特殊的集合：
- ∅：空集，∅ 是任何集合的子集。
- U：全集，在研究具体问题时，如若考虑的集合总是某个特定集合的子集，则把该特定集合称为全集。
集合的运算：
- 并集：$ A ∪ B = \{ x | x ∈ A 或 x ∈ B \} $
- 交集：$ A ∩ B = \{ x | x ∈ A 并且 x ∈ B \} $
- 补集：$ C_uA= U - A $
- 笛卡尔积（直积）：$ \{ (x, y) | x ∈ A, y ∈ B \} ，记作： A * B $
集合的性质：
- 交换律：$ A ∩ B = B ∩ A ，A ∪ B = B ∪ A $
- 分配律：$ A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ，A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) $
- 结合律：$ A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C，A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C $
- 对偶律：$ C_u ( A ∩ B ) = C_uA ∪ C_uB ，C_u ( A ∪ B ) = C_uA ∩ C_B $
区间
定义：指介于两个实数之间的全体实数构成的集合。
类型：
- 开区间：所有满足不等式 $ a < x < b $
- 闭区间：所有满足不等式 $ a < x < b $ 的实数 $ x $ 构成的集合，记作：$ [a,b] = \{ x | a ≤ x≤ b \} $。
- 半开半闭区间：$ (a,] = \{ x | a < x ≤ b \}，[a,b) = \{ x | a ≤ x < b \}$
- 无限区间：$ [a, +∞) = \{ x | x ≥ a \}，(-∞, b] = \{ x | x ≤ b \} $
实数 $ R $ 也可以记作：\((-∞, +∞)\)，$ ∞ $ 只是一个符号，不能参与四则运算。
领域
定义：设 $ a $ 为实数，对给定的正数 $ δ $，称满足不等式 $ | x -a | < δ $ 的全体实数构成的集合：$ \{ x | | x -a | < δ \} $ 为点 $ a $ 的 $ δ $ 领域，记作：$ U(a, δ) $。
其中，称点 $ a $ 为该领域的 中心点，称 $ δ $ 为该领域的 半径。
把领域 $ U(a, δ) $ 去掉中心点 $ a $ 而得到的数集称为点 $ a $ 的 去心δ领域，记作：$ \mathring{U}(a,\delta) = \{ x | 0 < | x - a | < \delta \} = (a-\delta, a) ∪ (a, a+\delta)$
把开区间： $ (a-\delta,a) $ 称为 $ a $ 的 左 δ 领域。
把开区间：$ (a,a+\delta) $ 称为 $ a $ 的 右 δ 领域。
符号
- $ \forall $：任取，任意给定
- $ \exists $：存在
- $ \Rightarrow $：推出，充分不必要
- $ \Leftrightarrow $：等价，充分必要
命题
定义：指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
充分条件：条件 $ \Rightarrow $ 结论
必要条件：结论 $ \Rightarrow $ 条件
充要条件：条件 $ \Leftrightarrow $ 结论
映射
映射是现代数学的基本概念，反映了事物之间 "一对一" 或 "多对一" 之间的依赖关系。
定义：设 $ X，Y $ 是两个非空集合，若存在一个对应法则 $ f $，使得任意 $ x ∈ X $ 有 唯一 确定的 $ y ∈ Y $ 与之对应，则称 $ f $ 为 $ X $ 到 $ Y $ 的映射，记作：$ f: X \rightarrow Y $ 。
元素 $ y $ 称为元素 $ x $ 在映射 $ f $ 下的 像，记作：$ y = f(x) $
元素 $ x $ 称为元素 $ y $ 在映射 $ f $ 下的 原像
集合 $ X $ 称为映射 $ f $ 的 定义域
$ Y $ 的子集 $ R_f = f(X) = \{ f(x) | x ∈ X \}$ 称为映射 $ f $ 的 值域
映射三要素：定义域、对应法则、值域，$ x \rightarrow y $ 总是 一对一 或 多对一，不存在 一对多。
满射
定义：在集合 $ Y $ 中的每一项都能在集合 $ X $ 中找到一个与之对应的原像，记作：
\[ \begin{align*} & \text{ 对映射 } f:X \rightarrow Y \\ \\ & \text{ 若存在 } f(X) = Y，\text{ 则称 } f \text{ 为满射 } \end{align*} \]
单射
\[ \begin{align*} & \forall \text{ } x_1, x_2 ∈ X, x_1 \neq x_2 \\ \\ & \exists \text{ } f(x_1) \neq f(x_2) \\ \\ & \text{ 则称 } f \text{ 为单射} \end{align*} \]
若 $ f $ 既是 满射 又是 单射，则称 $ f $ 为 双射 或 一一映射。
函数
本质：变量之间的相互依赖关系。
定义（狄利克雷）：如果对于给定区间上的每一 $ x $ 值，都存在唯一的 $ y $ 值与之对应，则称 $ y $ 就是 $ x $ 的函数。
常量：在研究过程中保持不变的因数。
变量：在研究过程中保持变化的因数。
定义域：
- 自然定义域：使得有关运算得以成立的 实数集合。
- 实际定义域：解决某种问题时实际给出的范围。
有些因数可能是发生变化的，但是其变化量较小，为了方便研究，我们可以把其当成 常量 对待。
函数图像
定义：把在直角坐标系下，$ \{ (x,y) | y = f(x), x ∈ D \}$ 这样的 点集 称为 $ y = f(x) $ 的函数图像。
单值函数
定义：自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是 只有一个。
现阶段研究的函数总是单值函数。
多值函数
定义：给定一个对应法则，对每一个 $ x ∈ D $ 总有确定的 $ y $ 与之对应，但这个 $ y $ 不总是唯一的。
例如：$ y^2 = 2x，y = ± \sqrt{ 2x } $
对于多值函数，我们可以添加附加条件分解为多分支的单值函数进行研究。
抽象函数
定义：没有给出具体解析式的函数。
显函数
定义：形如 $ y = f( x ) $ 的函数。
特征：可用只包含 自变量 的表达式来表示 应变量。
例如：$ y = e^{ 2x } $
隐函数
定义：由方程 $ F( x, y ) = 0 $ 所确定的函数。
特征：
- 变量 $ x $ 和 $ y $ 满足方程 $ F( x, y ) = 0 $ 。
- 当 $ x $ 在区间内任取一值确定出对应的 唯一 $ y $ 值，方程 $ F( x, y ) = 0 $ 确定一个隐函数 $ y( x ) $ 。
多项式函数
\[ P( x ) = a_nx^n + a_{ n-1 }x^{ n-1 } + \cdots + a_1x^1 + a_0 \]
有理函数
一般有两个多项式求商运算得到：
\[ R_x = \frac{ a_nx^n + a_{ n-1}x^{ n-1} + \cdots + a_1x + a_0 }{ b_mx^m + b_{ m-1 }x^{ m-1 } + \cdots + b_1x + b_0 } \]
函数相等
- 定义域相同
- 对应法则一致